二． 除得盡嗎？
若果一個數能夠被P整除，這個數也就是P的倍數。
將任何P倍的數互相加或減，它的結果仍是P的倍數，根據這個性質，也就可以擬定出判斷某數能被另一數整除的方法。
第一類：將要判斷的數A，分解為B和C
A = B + C
如果B能被P整除；C能被P整除，那麼A就能被P整除了。
判斷某數能否給2整除
方法：看那數的個位數是否是偶數（即0，2，4，6，8）
例如：8374 = 8370 + 4
前部份8370是10的倍數，肯定可以給2整除，整個數能否給2整除呢，就要看第二部分的4了，即是說個位數能被2整除的，整個數就可以給2整除了。
判斷某數能否給5整除
方法：看那數的個位數是0或5
例如 2345 = 2340 + 5
前段2340是10的倍數，一定可給5整除，於是問題就決定在個位數能否給5整除，一個數字能夠給5整除的，就只有0和5了。
判斷某數能否給4整除
方法：看那數末尾的兩位數，能否給4整除
例如 13512 = 13500 + 12
13520是100的倍數，一定可給4整除 (100 = 4 x 25)。12又是4的倍數，所以13512可給4整除。
觀察末尾的兩位數是不是4的倍數，也很簡單，當然４的倍數，起碼也是２的倍數，即個位數是0、2、4、6、8。
如果個位數是2、6 (4 除不盡的)，它的十位數一定是奇數，
即12、32、52、72、92，
16、36、56、76、96。
如果個位數是0、4、8（4除得盡的），它的十位數一定是偶數（0當作偶數），即
00 20 40 60 80
04 24 44 64 84
08 28 48 68 88
判斷某數能否給8整除
方法：看那數末尾的三位數是不是可能給8除盡，
例：13512 = 13000 + 512
前段13000是1000的倍數，一定可給8整除 ( 1000 = 8 x 125)
後段512現在也可給8整除，所以整個13512可以給8整除了。
觀察一個三位數能否給8整除，先用上述方法觀察它末兩位，看能否給4整除，如果這兩位數只給4整除，但8不能整除時，它的百位數一定是奇數
例如：112, 312, 512......
152, 352, 552.......
168, 368, 568......
如果末兩位數已經是8的倍數，那麼，它的百位數一定是偶數，
例如：200, 400, 600......
232, 432, 632......
272, 472, 672......
..... ...... ......
第二類：從被判斷的數A，減去P的倍數B
A – B = C
目的是將A簡化為C，如果C是P的倍數，那麼A也是P的倍數，即A被P整除。
判斷某數能否給3整除
方法：將那數的各個數字加起來，它的和可以給3整除，那數也可給3整除了。
判斷某數能否給3整除，我們就從某數裏減去3的倍數，使某數的數字簡化，容易觀察：
好像 10 = 3 x 3 + 1，減去3的倍數，就簡化為1，同理，20簡化為2，30簡化為3..........100，200...........亦簡化為1, 2.........
例如：1245 = 1000 + 200 + 40 + 5
減去3的倍數，就簡化為 1 + 2 + 4 + 5
它的和是12，可給3整除，那麼1245 也就可以給3整除了。
判斷某數能否給9整除
方法：將那數的各個數字加起來，它的和可以給9整除，那數也就可以給9整除。
例如：判斷142857是否可被9整除
1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27
由27可知原數可被9整除。
這個方法的原理與前述判斷3的相同。
判斷某數能否給7整除
方法：將個位數乘2後，放在十位數下方去減，然後將個位數刪去，於是，原數便縮短了一個字。再把這個新數用同樣辦法處理，這個數便再次縮短，直至容易觀察為止，若觀察到這個數可給7整除，原數也就可給7整除了。
例： 判斷3476是不是7的倍數
最後得到23，23不能給7整除，所以3476不能給7整除。
而23除7餘數是2，但絕對不是代表
這個方法可以叫做「減21法」，7的倍數中，數字最簡單的就是21，想個位數的1消失，就要同時減去十位數2，上例個位數是6，想它消失，就要同時在十位數處減去6的兩倍12，這樣也就消去6個21，而個位數變為0，原數便可縮短了。
上述是最常見的方法，但亦可用「調整數字和法」，雖然仍然未能便捷，不過亦算別緻。
方法：將那數的千位數乘以6（或乘以-1），百位數乘以2，十位數乘以3，連同個位數加起來，如果它的和是7的倍數，原數也是7 的倍數，如果數字和不能給7除盡，它的餘數也是原數除以7的餘數。
例：1673能否給7整除？
1 (x6) + 6 (x2) + 7 (x3) + 3
= 6 + 12 + 21 + 3
= 42
42可給7整除，1673也就可給7整除了。
為了計算簡便，應隨時將7消去，遇7變0，遇8變1，遇9變2……等，而乘6可改為乘 “
如上例，1673先變成1603
1 x (-1) + 6 x (2) + 0 x (3) + 3
= -1 + 12 + 0 + 3
= 14
這就簡便多了。
6, 2, 3或 -1, 2, 3這些數字是從那裏來的？
原來每一個10被抽去一個7時，就餘一個[3]；每一個100被抽盡7的倍數時，就餘下一個[2]；同樣，每一個1000被抽盡7的倍數時，就餘下一個[6]。（亦可以當作商數是143，餘數是-1的）
上例中，既然一個10餘下一個[3]，7個10那就餘下 3 x 7 = 21 ；一個100餘下一個[2]，6個100就餘下 2 x 6 = 12了......
判斷某數能否給11整除
方法：將某數的奇位數字和與偶位數字和相減，如果差數是0或11的倍數,這個數就可給11整除。
例：判斷2354可否給11整除
偶位數字和：2 + 5 =
7
奇位數字和：3 + 4 =
7
兩組數字和的差： 7 –
7 = 0
所以原數可給7整除。
這個方法是從減除11倍數的情況而定下來的：
奇位數：100 = 9 x
11 + 1
10000 = 909 x 11 + 1..........
減除11的倍數後，都簡化為1，即是奇位數字全部簡化做個位數。
偶位數：1000 = 90 x 11 + 10
100000 = 9090 x 11 + 10
減除11的倍數後，都簡化為10，即是偶位數字全部簡化做十位數。
上例 2354
= 2000 + 300 + 50 + 4
簡化為 20 + 3 +
50 + 4
十位數一組是 2 + 5
= 7
個位數一組是 3 + 4
= 7
這樣兩數相同，當然給11 整除
判斷某數能否給7、11或13整除
方法：截取那數尾段三位數，使那大數分成兩段，兩段數之差，若是7的倍數，原數就是7的倍數；若差數是11的倍數，原數就是11的倍數；若差數是13的倍數，原數就是13的倍數。
例：92148可否給7整除？
92148分作兩段92和148，
兩段差：148 – 92 = 56
56 可給7整除，那麼，92148也可給7整除。
又如：7020能否給13整除？
分作兩段：7和020
20 – 7 = 13
所以7020可給13整除。
又如：23023
分作兩段：23和023
23 – 23 = 0
0可以給7, 11和13整除，
所以23023可以給7, 11, 13整除。
這個方法亦是利用「減倍數」這方法。
這裏要減去的，是要減1001倍，那麼千位數減1，個位數也相應減1。
上例中92148，千位數減92也就表示個位數方面也要減92了。
為什麼要減去1001的倍數呢？因為1001 = 7 x 11 x 13，所以就7方面來說，減1001就是減去7的倍數；就11方面來說，減1001就是減去11的倍數；就13方面來說，減1001就是減去13的倍數。
第三類：若某數A可給P整除，又可給Q整除，那麼，A就可以給PxQ整除。
判斷某數可否給6整除
方法：觀察那數，若可被2整除，又可被3整除，那麼它就可被6整除了。
例如：2154
這數個位是4，可給2整除，
又數字和 2 + 1 + 5 + 4 = 12 可給3整除，
所以2154可給 2 x 3 = 6整除。
同理，想知道某數可否給12除盡，就看它能否給3和4除盡；想知道某數可否給15除盡，就看它能否給3和5除盡了………
上述檢測整除的辦法，分為三類，但又可以歸結為一個辦法，就是「調整數字和法」，見前面判斷7整除的第二個方法，每個數字要乘一個數，表列如下：
|
|
原數各數字的乘數 |
||||||
|
十萬位 |
萬位 |
千位 |
百位 |
十位 |
個位 |
||
|
需要測試的倍數 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
|
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
4 |
1 |
|
|
7 |
5 (-2) |
4 |
6 (-1) |
2 |
3 |
1 |
|
|
8 |
0 |
0 |
0 |
4 |
2 |
1 |
|
|
9 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
11 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
|
|
12 |
4 |
4 |
4 |
4 |
-2 |
1 |
|
|
13 |
4 |
3 |
-1 |
9 (-4) |
10 (-3) |
1 |
|
|
14 |
-2 |
4 |
6 |
2 |
10 (-4) |
1 |
|
|
15 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 (-5) |
1 |
|
|
16 |
0 |
0 |
8 |
4 |
10 (-6) |
1 |
|
|
17 |
6 |
4 |
-3 |
-2 |
10 |
1 |
|
|
18 |
10 |
10 |
10 |
10 |
10 |
1 |
|
例：1056可否給12整除？\
1 x (4) + 0 x (4) + 5 x (-2) + 6
= 4 + 0 – 10 + 6
= 0
0可給12整除，
所以1056也可給12整除。
調整數字和這辦法，並不很實用，但究竟也是一個辦法，表中的數字，亦指出有難有易，不妨在這角度比較一下。