質數也叫素數，從質數的立場去分，整數分為三類：
質數 ── 只有兩個因數：1和自己
例如 3．它的因數就只有1和3，
7．它的因數就只有1和7。
合成數 ── 它的因數有三個或以上
例如 4．它的因數有1, 2, 4
6．它的因數有1, 2, 3, 6
1 ── 它的因數只有一個，就是1，它雖然只是一個數，但自歸一類，它不是質數，也不是合成數。
如果把1當做質數，那麼
3 = 3 x 1 x 1 x 1 ..........
6 = 3 x 2 x 1 x 1 ..........
我們就可以說：任何質數都可以分解為無數個質因數連乘積；同樣，合成數也可以分解為無數個質因數連乘積，不免引起混亂，所以將1 獨立做一類較好。
質數藏在那裏？試觀察下列的六行表，有圈的數字就是質數。
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1 |
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除了2,
其實上表的功能，只是在整數中，將2的倍數和3的倍數篩去，十分粗疏，所以25, 35, 49, 55等數篩不掉，但在100範圍之內，效果也算不錯的。
質數的分佈，在第一個100裏算最密，有25個質數。
100-200間有質數21個：
100 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199
200-300間有16個
300-400間有16個
400-500間有17個
500-600間有14個
質數是逐漸稀疏，但卻是沒有規律的，質數113至127中間是連續13個合成數；質數31397至31469之間，連續是71個合成數，那麼，兩個質數相隔最遠，可以有多遠呢？答案是你想要多遠就有多遠。
這裏舉一個例：我們設計一個數目1 x 2 x 3 x 4 + 1，這個是質數還是合成數，且不理它，但從它開始：
1 x 2 x 3 x 4 + 2 （有因數2，肯定是合成數）
1 x 2 x 3 x 4 + 3 （有因數3，肯定是合成數）
1 x 2 x 3 x 4 + 4 （有因數4，肯定是合成數）
1 x 2 x 3 x 4叫做4的階乘，符號是 4！ 或 |４ 這裏4！開始，就至少出現連續3個合成數。如果設計數目是100！+1開始，就至少出現連續99個合成數了，當然這些數目是很大的，100！是一個158位的數。
我們不妨想像一下，如果數目由億億萬萬階乘 +1開始，相繼連續出現的就有億億萬萬個合成數。那時，就算你能用1秒鐘檢閱一個數，在這浩瀚的數海裏，漫遊了億萬年，仍未遇到下一個質數出現。
億萬年來未見過質數，實難令人相信質數的存在，至少質數已經沒有了，已到盡頭了。如果這樣想，那就大錯了，原來質數還有無限多個。
大約在公元300年，歐基里德已經把這個道理証明了。
假設質數是有限的，他設立一個數A
A = “全部質數”相乘 +1
= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 ...... + 1
這個A有兩個可能，是質數或是合成數。
如果A是質數，就說明“全部質數”之外還有質數。這說明質數是無法說出它的全部，它是無窮多的。
如果A是合成數，那就有一個數B可除盡A了，這個B絕不可能是“全部質數”中的任何一個，因為用這些質數除A，都會餘1，所以在“全部質數”之外，還有質數B（假如B不是質數，將它分解為質數後，亦都是”全部質數”外的質數），這同樣說明質數是無窮多的。
質數的問題很多，也很艱深，許多難題在今天仍然無法解決，就是要判斷一個大數是不是質數，也極為困難，不過，如果數目不大，也容易應付。
例如：判斷229是不是質數
第一步：先看這數的個位數是不是1、3、7、9四數中的一種。
這個道理很顯淺，如果個位數是其他數，它一定可被2或5整除，不可能是質數。
現在229的個位數是9，它有可能是質數，便進入第二步的檢查了。
第二步：分別用3、7、11、13去試除229，結果都除不盡，那就肯定229是質數了。
這樣試除，只用四個數實在令人疑惑和不放心，13到229之間有很大空間，難道那裏真的沒有一個229的因數？
為解釋這點，先看看一般因數的分佈情況，例如36的因數：
36 = 1 x 36
36 = 2 x 18
36 = 3 x 12
36 = 4 x 6
36 = 6 x 6
因數是一對一對地出現的，細額部份是1, 2, 3, 4, 6，大額部份是6, 9, 12, 18, 36。大額部份好像是細額部份的影子，它們是不可能獨立存在的。所以，想知道36有沒有因數，只要查細額部份就夠了。
大細額兩部份的轉折點，就在末行的 36 = 6 x 6 的 6，自乘得36的數，即是
上面所說的229，它的細額因數就應不超過
因此，229有沒有因數呢？就用1
– 16各數試除一遍就清楚了。
但其中偶數不用試，5和5的倍數不用試，餘下要試的是：3,
7, 9, 11, 13。
既然用3去試除，就不必再用9去試除了，所以，最後餘下要試除的是3,
7, 11, 13四個數。
測試愈大的數，需要的試除數就愈多，不太大的數，也不算困難。
個位數是1, 3, 7,
9的數，可用下列的試除數去測試那數是不是質數。
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範圍 |
試除數 |
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1-50 |
3,7 |
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50-100 |
3,7 |
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100-150 |
3,7,11 |
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150-200 |
3,7,11,13 |
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200-250 |
3,7,11,13 |
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250-300 |
3,7,11,13,17 |
有些同學做功課做得特別比別人快，主要原因是他們對常用數字的性格，像老朋友那樣熟悉，除了加減乘除的運作；它是不是質數呢？可以用什麼數約簡？對分數的運算尤其緊要。
要熟悉這些數字的性能，就要多作練習，自然熟能生巧，如若背熟一些資料，可能會事半功倍。
100以內的質數，我分做十句去記，每句第一個字是十位數，隨尾的是個位數：
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2,3,5,7 --> |
醫生午出 |
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1 – 1,3,7,9 --> |
一日三出救 |
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2 – 3,9 --> |
以心救 |
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3 – 1,7 --> |
山日出 |
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4 – 1,3,7 --> |
斯人生實 |
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5 – 3,9 --> |
悟心够 |
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6 – 1,7 --> |
鹿一出 |
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7 – 1,3,9 --> |
出一山狗 |
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8 – 3,9 --> |
怕山狗 |
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9 – 7 --> |
救出 |
熟記一些資料，如果容易，是化算的，否則就得不償失了。
「獨覽梅花掃腊雪，細睨山勢舞流溪」，用普通話讀起來，前句是do re me fa so la chi，後句是一、二、三、四、五、六、七，這種文句，高雅無比。反觀上列的諧音字，確實粗俗不堪，然而，每學年講解完這節課，下課鐘響了，總有幾位同學堵在課室門口，爭著要背質數給我聽，這也算是有些成功感啊！