五．分數的基本常識
有時踏進課室，看見同學們在爭吵，我便和他們研究罵人的姿勢。
現在用手指住別人，罵人「笨蛋」，其實只有兩隻手指指向別人，三隻手指指向自己，是誰笨得多一些？
同學們紛紛擺動兩手，研究最佳的罵姿，一時似夢遊，一時似指揮排隊，一時似蛇形刁手，十指全指向別人，卻沒有罵人的味道。
怎樣辦最好？
用分數去說，那人用了
的手指指向別人，用
的手指指向自己。
現在用這數字去解釋分數的意義。
分數的意義
意義1：
就是將一件東西，均分作5份，提取其中2份，這是分數最原始的定義，據此可引申出下列其他意義。
意義2：就是要將一件東西代表5份，提取其中2份。
意義1是要將東西切開，切成5份，若將分數的意義擴張，就發覺有些東西是無法切分的，只能利用分母去解讀“一件東西代表多少份？”
例如
，依意義1，就是將一件東西均分做1份，提取6份，但是一刀就兩斷，怎樣均分做1 份呢？分母1就指示1件東西代表1 份，6份就是6件東西，即
又例如
，要將一件東西分為0.5份，更脫離日常生活的思維，這裏的解讀是：1件東西代表0.5份，即1 份是2件東西，3份是6件東西。即
意義3：就是2個
，這是用另一個角度去讀圖所得出的分數意義。
意義4：
就是將2件東西分做5份，結果是原來的兩小格，即
其實除號 
早已暗示了除數、分數、比三種數的血緣關係：除號中間的橫畫，就是分線，上下兩點象徵分子分母；單用除號的兩點，也就是“比”號。
三種常見的分數
1. 分子、分母相同的分數，它的值就是1。
例如：
從意義1，
就是將一塊蛋糕切開5份，取走5份，也就是取走整個蛋糕（即1）了。從意義4， 
2. 分子是0的分數，它的值是0。
例如：
從意義1，
就是將一塊蛋糕切開5份，取走0份，即是沒有取走任何東西。
3. 分母是1的分數，等於沒有分母，是一個整數。
例如：
上文意義2已作解釋，
從意義4，
兩種特殊的分數
1). 
…….等0做分母的分數，分值是無限大，
的分母是0，分母沒有了，好像比
更合理，事實上它的值是無限大，符號是
從意義2去推想：
………
分母愈變小，分數的值愈大，當分母愈趨向0，分數的值愈趨向無限大。
從意義4去推想：
，從右方除式可看到，商數是1，餘數是5，依照除數的計算法則：餘數不可以大過除數，若餘數大過除數，就表示商數必須加大。可是，將商數增加到很大很大，餘數仍然是5，比除數大，也就是說，商數仍不够大，於是只有繼續增加，商數便只好被增至無限大。
2). 
= 不定值
分子分母相同，看來應該等於1，
分子是0，看來分值應該是0，
分母是0，似乎也應該是無限大，
看右方除式，
的商數，
什麼數也適合，包括正數、負數、實數、虛數、有理數、無理數……
如果只說它的答案是1，就是以偏蓋全，不算是完滿的答案，它的答案是可以是任何數，稱做「不定值」。
這兩種特殊分數，在小學教科書中，從沒有見過，在科普的數學書中，亦鮮有提及，不過，在老師擬題的測驗卷和學生課外補充作業中，偶有見這些分數或除數，老師和同學都覺得這些題目沒有什麼特殊，他們認為乘除數中有0，答案就是0，如果不是0，難道是無中生有嗎？要說服他們，也不是一件易事。
分數的類型
分數可分為三種類型：
真分數 － 分子比分母小的分數，例如
等
帶分數 － 帶有整數部份的真分數，例如 
假分數 － 分子比分母大的分數，例如
等
假分數說它假，假在那裏？如果說它蠻橫霸道，似乎還說得通，例如
，就是將一個蛋糕切開3份，全部只有3份，它卻要拿取10份，是不是蠻橫霸道？這當然是說笑。從分數意義3：就是10個
的意思，沒有什麼不妥，不過，亦看不到有什麼虛假的味道。
有些假分數的確又很假的，例如 
它們外表是分數，其實都是整數：5, 1, 4，因此說它們是假分數也不為過。
還有一種數型，應該叫做帶假分數，例如
，而這些都撥歸做假分數一類。原來分數的計算結果，不能用假分數表達，必須用真分數或帶分數寫出。從廣義上來說，假分數的地位，的確有點虛假（例外的有
，是用假分數去表達）。
分數計算的終端答案形式雖然是真分數或帶分數，但計算的過程中，有時不能不利用它們假分數的形式，因此，有假分數和帶分數互化的需要。
帶分數化假分數
方法是：
<1> 整數乘分母加分子，做新分子
<2> 分母不變
例1． 
例2． 
參看右圖，帶分數變假分數，沒有變多了或少了，只好像將大鈔兌換成輔幣，而兌換率是由母指示出來，分母是5，1就變成；分母是4，1就變成
假分數化帶分數
方法是：
<1> 分子
分母
<2> 所求的帶分數：
例1：
例2：
例3：
但若依照例1例2的方式，就會寫成
，而
是沒有矛盾的。
假分數化帶分數，好比將輔幣兌換回大鈔，亦好像計算進位數，分子數積聚到分母一樣多就進1做整數。
這些步驟簡化了，就是上述的用除法去計。
有時我給學生弄糊塗了，他的功課書寫得很認真，但答案全錯了，他寫的是
原來他的答案數字是依照算式直搬過來：在左邊的字寫在左邊，上下方的字照寫在上下方。
能否設計一個算式兩全其美呢？且看下面一例：
化
為帶分數
只要在分子９左旁加一直線，就完成一個除式，商數寫在左邊，但餘數２要倒轉減式算出來，就顯得極不方便，倒不如記住帶假分數的互化是分母不變的，還較實際。
假分數化帶分數最容易的是１０的倍數做分母的分數。
分母有幾多個０，分字就留下幾多個數，餘下的數就拿去做整數。
分母是９的假分數化做帶分數也很方便
分子頭一個數５，提取做整數，５＋２＝７就是分子。
這是重覆使用上述的方法：提取３做整數，３再加４變成７，再提取７做整數，７再加１就是８。
用這個辦法心算，也應該很快算出答案的。
如果數字大些，就有點困難了：
４＋７＝１１超過１０，就要逢９進１，調整一下了。
分母是１１的假分數化做帶分數也很有趣：
頭一個數２就是整數，尾數減頭數８－２＝６就是分子。
這是重覆使用前例的辦法。
如果十位數大，個位數小，怎樣去算“尾數減頭數”呢？
例如７４，頭數可以看作６借１給尾數變成１４，尾數減頭數就是１４－６＝８
又例如
５３分解為４和１３，１３－４＝９
數字簡單是很容易心算的，許多時我和朋友茶敍，AA制科款，偏偏人數是９人或１１人，他們還未掏出計數機，我第一時間已說出每人該科多少元，嚇了他們一跳。其實我就是用上述辦法心算，當心算出第一個數字時，我暗中用手指記住，再心算第二個數字，然後將答案讀出，就是這麼簡單。
擴分和約分
將分數的分子、分母乘以同一個數，使數字增大，叫做擴分
將分數的分子、分母除以同一個數，使數字變小，叫做約分
擴分和約分雖然數字大變動，實質它們的大小絲毫沒有變動。
看右圖，
一樣大小，顯而易見。
擴分通常在計算分數加減時用來「通分母」，但亦可用來簡化分數，例如：
約分，就是簡化分數的分母和分子，例如：
約簡的操作最輕鬆的是“消０”
最後，說說本章開始的問題：怎樣罵人姿勢最好？似乎怎樣也找不到一個合適的姿勢，既然是兩隻手指指別人，三隻手指指自己，我們不妨換一個角度去思考：如果將辱罵改為讚賞，將咀咒改為祝福，豈不是施比受更有福嗎？