三角形面積的計算

     中國作為世界文明古國，對幾何的研究早在數千年前就開始了，其內容豐富多彩，成果異常輝煌，並形成了獨特的中國幾何理論體系，它與著名的西方歐氏幾何體系相比各有千秋。回首數千年來中國的歷史，人們可以清楚地看到，生產與生活以及科學研究等方面需要，特別是大量的土地丈量問題和天文觀測問題的亟待解決，構成了中國幾何學發生與發展的重要原動力，有關這方面的史料在中國古代的一些數學著作，如《墨經》、《周髀算經》、《九章算術》，劉徽《九章算術注》、《海島算經》、《日高圖說》和《勾股圓方圖說︴等中，俯拾皆是。務實是中華數學的特點，中國數學家們不僅非常重視解決實際問題，而且善於解決實際問題。他們在長期實踐的過程中解決了形形色色、類型各異的幾何問題，積累了極其豐富和寶貴的經驗與技巧，也重視把自己的經驗加以提煉，向理性上升華，從而形成了中國幾何學的獨答風格。

     中國幾何學的最大特色在於它的豐富多彩的理是建立在為數極少而又十分簡明的原理之上的。「出入相補原理」就是這種作為「基石」的原理之一。只要從它出發，並且以勾股形(直角三角形)代替一般三角形來處理直線形問題，就可以不涉及角的度量和繞過煩瑣的平行理論，使直線形理論的結構十分簡潔。這是絕妙的一招，其中重用勺股形也很高明。因為用疊合法判定兩個勾股形的全等或相似要比判定一般三角形容易得多。例如，容易判定對角線將矩形可經位移形成矩形。這樣在用出入相補原理的過程中，當需要處理勾股形與矩形之間的圖形關係時，就會輕車熟路地十分得心應手了。

     任意直線形的面積，可先劃為三角形之後再求，所以關鍵在於解決三角形求面積公式。中國古代，把「矩形面積等於長、寬之積」作為一條「公理」使用的，加上「出入相補原理」，就可以推出結論。比如，

求證：任意三角形的面積等於底與高之積的一半。

     證明:如右圖，在三角形ABC中，CH是AB上的高，把直角三角形1和直角三角形2分別位移到1'和2'。於是由出入相補原理有：

     1'=1, 2'=2.

     從而1與1'以及2與2'分別構成A'AHC與矩形CHBB'。故矩形A'ABB'的面積=2x三角形ABC的面積=2xS_三角形ABC。

     所以S_三角形ABC  =(ABxCH)/2

                                 =(底x高)/2

     通常把已知三角形三邊a,b和c,求其面積S的公式列為

          S=√s(s-a)(s-b)(s-c).

     其中s=(a+b+c)/2，這就是著名的海頓公式。

     海頓(Heron,約1~3世紀)是古希臘著名的數學家、工程師。他寫過了不少著作。海頓公式出現在他的《測地術》中，並先後在《經緯儀》和《量度》中給出證明。但是數學史家認為，海頓公式最早是由阿基米德提出的，海頓只是重視此公式並廣泛利用它而已。

     證明海頓公式的方法很多，其中一種已在數學證明中表出(按此連結)，故不在此詳述。

     公元7世紀在印度數學家婆羅摩籍多的著作中，也發現了由三邊求三角形面積的公式，同時給出的還有四邊形面積公式：

          S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d),

     但他不知道此公式僅適用於圓內接四邊形。

     除了海頓公式外，由三邊求出三角形的面積公式還有很多，只是海頓公式比較著名而已。例如公元前2世紀希柏克(Hipparchus, BC160-125)曾提出S=abc/4R，其中R是三角形的外接圓半徑。

     在海頓的《機械學》一書中還有S=rs，其中r是三角形的內接圓半徑。後來歐拉就是利用這個公式導出海頓公式的。1807年，馬佛銀(Mathien)又由S=rs導出：

     公元10世紀，中亞地區著名數學家阿布威發(Abul-wefa,940-997)得出：

     這是海頓用勾股定理導出海頓公式的一個中間結果，實際上它與海頓公式也是等價的。

     公元1247年，我國南宋著名數學家秦九韶提出了由三角形三邊求其面積的「三斜面積」公式。他也發現了類似海頓公式的求三角形面積的方法，他把三角形的三邊分別叫大斜、中斜、小斜(下圖)，在他所著《數書九章》(1247年)卷五中有如下記載：「以小斜冪並大斜冪減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，為實：一為從隅，開平方得積。」若把這段文字寫成公式，便是：

     這式子與海頓公式形異而實同，秦九韶雖在海頓之後，但卻是獨立發現，所以這個三斜求積公式應叫海頓-秦九韶公式。秦九韶本人的證明已經失傳，吳文俊教授根據中國古代幾何證明的傳統特點作了一個補證：

     作大斜上的高分大斜成兩部份，作為勾股形的弦和股(如右圖)，由於三角形面積等於 底x高/2，是我國早就知道的，所以問題歸結為怎樣求高，而高又是可以通過「股」與「小」求得，因此只要求出股就可以了。

     根據劉徽的公式：。

     知道由「股弦和」與「勾²」可以求出股，所以問題又歸結為求，「勾²」與「股弦和」。這很簡單，因為，

          股弦和=大斜，勾²=弦² - 股²=中斜² - 小斜²。

     所以，

     秦九韶的公式比較古怪，海頓公式比較整齊，說秦九韶公式是從海頓公式推得的自然沒有道理。