0.99999...... = 1？

　　0.9999...... 等於 1 嗎？

　　這是一個很不容易令人相信的結果，為什麼呢？因為，任何兩個小數之間的比較大小，應該可以逐項比較的，例如：1.2 < 2.1、1.234 < 1.2345，這是小數的優點，那麼，0.9999...... < 1了。

　　另外，有 0.9999...... 這樣的嗎？好像不應該有這樣的數，循環小數的產生應該來自分數，例如 ，0.3333......的部分之所以循環是因為除之不盡所以產生的，但是，0.9999...... 會是如何產生的呢？會有兩個數相除而產生 0.9999...... 嗎？換言之，我們不僅不相信 0.9999...... < 1 ，甚且不相信有 0.9999...... 這樣的無窮循環小數。

　　以下我們試圖來尋找 0.9999...... 的根源。首先，你相信 1/3 = 0.3333...... 嗎？當然相信，因為將 1 除以 3 就會有 3 源源不絕的產生，又 0.9999...... = 0.3333...... ×3 是嗎？那就滿奇怪的，0.9999...... = 0.3333...... × 3 = 1/3 × 3 = 1 !，那不就說明 0.9999... = 1 嗎？

　　沒關係，那我們就不要透過 1/3 = 0.3333....，直接來看看 。

　　我們設 a = 1 - 0.9999......，顯然 a 不是負數，對於任何一個大於 0 的數，我們都可以找到一個自然數 n 使得 na > 1，我們稱此為阿基米德原理。也就是說，可以找到一個自然數 n 使得 a > 1/n，於是：
　　
　　這是一個矛盾的結果，因此，a 不會是正數，可是 a ≧ 0，那不就是說 a = 0 嗎？但若 a = 0，na 就不大於 1 了。

　　還有一個方法，就是將2除以2，據理，您應該將1寫在商，但請試試將0寫在商，不要寫1，不斷補0，如下圖：

您就會得到0.99……=1

        怎麼會這樣呢？你當然還有一個疑問：真的有 0.9999...... 這樣的數嗎？有的，有一支木棍，長度是 1，我們第一次取其 0.9，第二次再取其剩下的 0.9，以此類推，每次都取其剩下的 0.9，想想看，這樣取法可以將線段拿完嗎？當然不行，那不就可以一直拿取下去，那不就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 0.9999......當然，你會想：那不就是 0.9999...... < 1。其實若只要不是有無限多個 9，那麼這個數都是小於 1。但若果利用等比級數求和公式，我們可以求出 0.9999...... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... = 1 了。